강의실/이산수학문제풀이

[정보올림피아드대비]8.조합에관한문제

파아란기쁨 2022. 5. 6. 12:12

조합은 Combination 이라고 하며 순서를 생각하지 않고 나열하는 경우를 말한다.

즉 123 과 321 은 같은 경우로 생각하는 경우이다.

이러한 문제는 중고등부 유형이나 혹은 알고리즘 유형에서 나오는 문제이다.

다음의 문제를 풀어 보자.

문제풀이)

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1) 남자 13명 중에서 3명을 뽑는 경우의 수는

첫번째 13명중에서 1명을 뽑는 13가지

두번째 첫번째 뽑힌 사람을 제외하고 12명 중에서 1명을 뽑는 12가지

세번째 는 남은 11명 중에서 1명을 뽑는 11가지

즉 13P3 = 1716 이다.

여기서 남자에게 번호를 1~13까지 번호를 붙여 본다면 1번,2번,3번을 선택한 경우는

123,132,213,231,312,321 과 같이 6가지이다. 하지만 이렇게 6가지의 경우는 동일하게 하나로 선택한 경우이므로 이렇게 순서를 나열 할 수 있는 3! 로 나누는 경우가 조합이다.

따라서 13C3 = 13P3 / 3! = 1716 / 6 = 286

여성 10명 중에서 3명을 뽑는 경우는 위와 같은 경우를 생각하면 10C3 = 10P3/3! = 720/6 = 120

따라서 남자 13명 중에 3명을 뽑는 경우와 여자 10명중 3명을 뽑는 경우는 곱의 법칙이므로 286 * 120 = 34320

2) 전체 23명 중에서 5명을 선택하는 경우 23C5 = 23P5/5! = 106264037880/120 = 33649

여기서 남자만 5명이 선택되는 경우 13C5=1287 와

여자만 5명이 선택되는 경우 10C5=252 인 경우를 빼 주면 된다.

33649 - 1287 - 252 = 32110

3) A남성회원과 B여성회원을 먼저 선택 한 후 나머지 사람 21명 중에서 4명을 선택하는 경우의 수이다.

따라서 21C4 = 5985

문제풀이)

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1) 15명중에서 5명을 선택하는 경우의 수 15C5

남은 10명 중에서 4명을 선택하는 경우의 수 10C4

남은 6명 중에서 3명을 선택하는 경우의 수 6C3

남은 3명 중에서 2명을 선택하는 경우의 수 3C2

남은 1명 중에서 1명을 선택하는 경우의 수 1C1

각각의 그룹은 구성원수가 다르므로 곱의 법칙에 의해서 15C5 * 10C4 * 6C3 * 3C2 * 1C1 = 37837800

2) 15명중에서 4명을 선택하는 경우의 수 15C4

11명 중에서 4명을 선택하는 경우의 수 11C4

7명 중에서 2명을 선택하는 경우의 수 7C2

5명 중에서 2명을 선택하는 경우의 수 5C2

3명 중에서 2명을 선택하는 경우의 수 3C2

1명 중에서 1명을 선택하는 경우의 수 1C1

여기서 4명 그룹이 2개인데 4명 그룹의 순서가 바뀌어도 상관이 없기 때문에 2! 로 나누어 주어야 한다.

또한 2명 그룹이 3개인데 2명 그룹의 순서가 바뀌는 3! 의 경우도 순서에 무관하므로 3!로 나누어 주어야 한다.

따라서 15C4 * 11C4 * 7C2 * 5C2 *  3C2 * 1C1/(3!*2!)=23648625

3) 15C5 * 10C5 * 5C5 / 3! = 126126

중복조합은 중국집에 손님이 오는 경우를 많이 생각하게 되는데~

중국집에 메뉴가 짜장면,짬뽕,탕수육,팔보채,양장피 가 있는데 손님이 3명이 들어 왔습니다.

이때 손님이 주문 할 수 있는 경우는 모두 몇가지인지 구분할때 많이 사용하는데요.

123 번 손님이 모두 짜짜짜, 혹은 짜짜짬, 짜짬탕 등과 같은 형식으로 분리를 하다 보면 정신이 아득해 질 수 있겠는데요.

그렇다면 어떤 식으로 정리를 해 볼까요?

손님이 3명이므로 손님을 ⓐⓑⓒ 라고 하면 

ⓐⓑⓒ 를 각 메뉴에 배치 시키는 경우를 생각해 봅니다. 짜짬탕팔양을 그냥 숫자로 생각하면 1,2,3,4,5 로 생각하면

세명을 모두 1에 배치하는 경우가 있을 수 있고 2명을 1에 배치하고 1명을 2에 배치하는 경우가 있을 수 있습니다.

따라서 1,2,3,4,5 사이에 칸막이를 막아 둔다고 하면 1|2|3|4|5 이렇게 칸막이가 4개가 생길것입니다.

이 칸막이 사이에 3명을 배치하는 경우를 그림을 그려보면 짜짜짜를 시키는 경우

  ⓐⓑⓒ|||| 과 같이 돠고 짜짜짬을 시키는 경우 ⓐⓑ|ⓒ||| 과 같은 형태가 됩니다.

이렇게 확인을 해 보면 7개 중에서 3개를 선택하는 경우와 동일하게 됩니다.

(ⓐⓑⓒ를 123 으로 생각하고 칸막이를 4567 으로 생각해서 7 중에서 3개를 선택해서 가령 124 를 선택했다고 가정하면 ⓐⓑ|ⓒ||| 와 같은 형태이며 127을 선택했다고 하면 ⓐⓑ||||ⓒ과 같은 형태가 되는것입니다.-해당 번호 위치에 손님이 들어가는 형태)

즉 5-1개(칸막이 갯수) + 3(선택갯수) 중에서 3개를 선택하는 경우의 수 (5-1)+3 C 3 의 경우이며 이것을 5H3 으로 선택을 합니다.

조합에서는 3C5 와 같은 경우가 없지만 중복조합에서는 3H5 가 가능하다는 점도 알아 두면 좋을것 같네요.

 

문제풀이)

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4H3 = (4-1)+3 C 3 = 6C3 = 6*5*4/3*2*1 = 20가지

문제풀이)

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기명투표인 경우에는 사람의 이름이 들어 가기 때문에 어떤 회원이 어떤 사람을 선택했는지를 알수 있다.

따라서 이 경우는 1번 투표하는 사람이 3명중에 한명을 선택하는 경우, 2번 투표하는 사람이 3명중에 한명을 선택하는 경우.... 와 같이 되기 때문에 중복 순열에 해당한다.

따라서 3Π15 = 3^15 = 14348907

 

무기명투표인 경우에는 사람의 이름이 무의미하기 때문에 이 경우는 중복조합에 해당한다.

후보 3명에 칸막이를 만들고 15명을 그 칸막이에 넣을 수 있는 경우이므로

3H15 = (3-1)+15 C 15 = 17C15 = 17C2 = 136

 

[역대 기출문제]

https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSc6Tvpjb_3JRxK26nzuu1PFXu-_MUiaGKWrCXYNsUWPfoLvwg/viewform

 

9-1. 조합에 관한 문제

 

docs.google.com

 

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