강의자료/인공지능수학

[인공지능수학] 삼각함수

파아란 기쁨 2022. 1. 25. 20:14
목표
  • 중3 과정에서 나오는 삼각함수가 인공지능에서 어떻게 사용되는지 살펴 봅니다.
  • 도수법과 호도법간의 변환 관계를 살펴 봅니다.

 

도수법이란
  • 도수법은 우리가 일반적으로 사용하는 원이 한바퀴 도는데 필요한 각을 360° 로 표현 하는 것을 의미합니다. 예를 들어 30° 60° 90°와 같이 표현하는 것이 도수법입니다.

 

호도법이란
  • 호의 길이를 각도로 나타내는 방법을 호도법이라 합니다.
  • 삼각함수에서는 각을 표현할 때 호도법을 사용합니다.
  • 반지름 r인 원에서 그 반지름과 같은 길이의 호 AB가 있다고 할 때 그 중심각의 크기는 항상 일정합니다. 이 때의 각을 1라디안이라고 부릅니다.(1rad 라고 표현)

 

도수법과 호도법의 관계
  • 반지름 길이가 1인 원을 단위원이라고 부르는데 이 단위원을 한바퀴 도는데 필요한 호의 길이는 2 입니다.(따라서 360° = 2
  • 반원의 길이는 이므로 180°  
  • 따라서 다음과 같이 도수법과 호도법의 관계가 성립하는 것을 확인 할 수 있습니다.

 

삼각비
  • 삼각비는 직각삼각형의 세변의 길이 중 두 변의 길이간의 비례관계를 나타내는 값
  • 삼각비의 정의
    출처: 나무위키

 

삼각함수
  • 삼각비에서 쓰이는 정의역을 예각에서 일반각으로 확장시킨 것을 삼각함수라고 합니다.
  • 함수의 기호는 삼각비와 동일한 sin,cos,tan 를 사용하며 θ 가 0 인 경우 sinθ = 0,cosθ = 1,tanθ = 0 이 됩니다.
  • 단위원에서 sinθ = y,cosθ = x,tanθ = y/x 가 됩니다.
    출처:위키백과
  • θ 가 30° 인 경우 A의 좌표는 ( √3/2,1/2) 가 되고 결과적으로 cos1/6 =  √3/2, sin1/6 =1/2, tan1/6 = √3/3 이 됩니다.
  • 이러한 삼각함수의 대표적인 값은 다음과 같습니다.
    출처:https://elwlsek.tistory.com/1185
  • 반지름이 1인 원의 둘레에 위치하는 A는 -1<= x,y <=1 이므로 sin,cos 값의 범위도 -1~1 사이의 값이되고  tan 값은 임의의 실수값이 됩니다. 참고로 이처럼 함숫값이 가질 수 있는 값의 범위를 치역이라고 말합니다   

 

삼각함수의 공식
  • tanθ = sinθ / cosθ
  • sin2θ+cos2θ=1
  • 1 + tan2θ = 1/cos2θ 

첫번째 공식은 tanθ = y/x 에 sinθ = y,cosθ = x 를 대입하면 나오는 공식입니다.

두번째 공식은 단위원에 그려진 삼각형에 대해 피타고라스의 정리를 적용하면 나옵니다.

세번째 공식은 두번째 공식을 cos2θ 로 나누면 됩니다.

 

인공지능에서의 활용
  • 인공지능에서는 음성인식을 할 때, 음의 파형을 분석하기 위해 푸리에 변환을 사용합니다.
  • 푸리에 변환은 복잡한 파형을 가진 함수를 삼각함수의 덧셈으로 표현하는 변환 방법입니다.

 

참고>

인공지능을 위한 수학

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