명제

명제란?

명제란 객관적으로 참과 거짓을 구분 할 수 있는 문장으로 추상적이고 주관적인 견해를 배재한 문장이다.

예를 들어 "대한민국의 수도는 서울특별시이다" 에서 이 내용은 객관적으로 참,거짓을 판별 할 수 있으므로 명제이다.

"이 컴퓨터는 비싸다" 에서 이 내용은 개인의 기준에 따라 참 거짓이 달라 질 수 있으므로 명제가 아니다.

이 때 조건은 알파벳 p,q,r 순으로 사용하고 그의 진리집합을 각각 영어 대문자를 사용하 P,Q,R로 사용하는 것이 관례이다.

 

논리연산자와 합성명제

1. 부정(not)

~p 와 같이 사용하면 문장 p가 명제일 때 "p가 아니다" 를 의미하며 p의 진릿값의 반대를 갖는 명제이다.

2. 논리곱(and)

p ∧ q 와 같이 사용하며 p,q가 명제일 때 p,q 의 진릿값이 모두 참(true)일 때 참이 되고 그렇지 않을 때 거짓(false)가 되는 명제

3. 논리합(or)

p ∨ q 와 같이 사용하며 p,q가 명제일 때 p,q의 진릿값이 모두 거짓(false)일 때 거짓이 되고 그렇지 않을 때 참(true)가 되는 명제

4. 배타적논리합(Exclusive OR:XOR)

p ⊕ q 와 같이 사용하며 p,q가 명제일 때 p,q 둘 중 하나만 참일 때 참이 되고 그렇지 않을때는 거짓이 되는 명제

p ⊕ q =(~p ∧ q) ∨ (p ∧ ~q) 와 같이 부정,논리곱,논리합으로 표현이 가능하다.

p	q	p⊕q	~p	~q	~p ∧ q	p ∧ ~q	(~p∧q)∨(p∧~q)
T	T	F	F	F	F	F	F
T	F	T	F	T	F	T	T
F	T	T	T	F	T	F	T
F	F	F	T	T	F	F	F

5. 합성명제(Compound Proposition)

하나 이상의 명제들이 논리 연산자에 의해 결합된 명제

예) (~p ∧ q) ⊕ (p ∧ ~q) 

6. 조건명제(Conditiaonal Proposition)

p -> q 와 같이 사용하며 문장 p,q가 명제일 때 명제 p가 가정(전제)이고 명제 q가 결론(결과)가 되는 명제

조건명제의 진리표

p	q	p->q
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

"비가 오면 우산을 쓴다" 라는 예를 들어 보면 쉽게 알 수 있다.

비가 온다면을 가정 p 로 하고 

우산을 쓴다를 결론 q로 했을 때

비가 온다면 우산을 쓴다면 참이다.

비가 온다면 우산을 쓰지 않는다면 비를 맞을 테니 거짓이다.

비가 오지 않을 때 우산을 쓴다고 해도 참이다.

비가 오지 않을 때 우산을 쓰지 않아도 참이다.

7. 쌍방조건명제

p <->q 와 같이 사용하며 문장 p,q가 명제일때 명제 p와 q가 가정이면서 동시에 결론인 명제이다.

p <->q 의 조건은 (p->q) ∧ (q->p)와 같이 표현 할 수 있다.

8 역(Converse),이(Inverse),대우(Contraposition)

조건명제 p->q 에서 가정과 결론이 바뀐 q->p 를 역(Converse)

가정과 결론을 각각 부정한 ~p->~q 를 이(Inverse)

가정과 결론이 바뀐상태에서 각각 부정한 ~q -> ~p 를 대우(Contraposion) 이라고 한다.